Lógica proposicional: Leyes de inferencia...

En la entrada anterior hablamos sobre cómo saber si un razonamiento es o no válido a través de demostraciones. El método que vimos, estaba basado en comparar la tabla de verdad de las premisas con la conclusión; de manera que si la conclusión era verdadera en todos los casos en que todas las premisas lo fueran; entonces estábamos frente a un razonamiento válido.

A veces, utilizar tablas de verdad para demostrar esto se transforma en una tarea compleja, por ello es que en esos casos utilizamos directamente leyes de inferencia probadas para hacer las derivaciones.

Nosotros, vamos a utilizar argumentos lógicos admisibles que colocaremos en una tabla a la que se pueden añadir otras expresiones si éstas se obtienen de otras previas usando leyes de inferencia.

Las leyes de inferencia que usaremos son las siguientes:

• Ley de combinación:  p, q  ⇒  p^q
• Ley de simplificación:  p^q  ⇒  p (o también es válido: p^q -> q)
• Ley de adición:  p ⇒  pvq (o también:  q-> qvp )
• Modus Ponens: p, p->q ⇒  q
• Modus Tollens: p->q, ¬q  ⇒ ¬p
• Silogismo hipotético: p->q, q->r  ⇒ p->r
• Silogismo disyuntivo:  pvq, ¬q  ⇒ p (o también:   pvq, ¬p  ⇒ q )
• Ley de casos: p->q, ¬p->q  ⇒ q
• Eliminación de la equivalencia: p<->q  ⇒  p->q, q->p
• Introducción a la equivalencia: p->q, q->p  ⇒ p<->q
• Ley de inconsistencia: p, ¬p  ⇒ q

EJEMPLO:

Demostrar: p->q, q->¬r, ¬p-> ¬r ⇒ ¬r

Para hacerlo, colocamos las hipótesis (o premisas) una debajo de la otra y, a partir de ellas y las leyes de inferencia enunciadas, tratamos de llegar hacia la tesis (o conclusión) que especifica el problema.