En la entrada anterior estuvimos hablando sobre la función lógica y los cuantificadores. Dejando un poco de lado el tema y volviendo a las proposiciones, nos encontramos con el concepto de equivalencia lógica.
Decimos que p y q son lógicamente equivalentes y denotamos p ≡ q si p y q tienen el mismo valor de verdad en cada caso, es decir si tienen la misma tabla de verdad.
También hay bibliografía donde se define un teorema sobre la equivalencia lógica en base a conceptos vistos anteriormente, como por ejemplo que si p ≡ q entonces la expresión que se obtiene al hacer p<->q es una tautología.
Como ejemplo, veremos una expresión que anteriormente dijimos que eran equivalentes, el caso de una implicación y su contrarrecíproca.
Como podemos ver estas expresiones tienen la misma tabla de verdad y si hacemos la doble implicación entre ellas obtenemos una tautología como lo indicaba el teorema.
Con frecuencia, es necesario transformar una expresión lógica en otra lógicamente equivalente, para ello podemos usar ciertas leyes de equivalencia (o también podemos encontrarlas como propiedades) que enunciaremos a continuación:
Leyes de absorción: Ley de involución:
Hay una equivalencia que nos será muy útil a la hora de resolver ejercicios del tema: p->q ≡ ¬p v q
Decimos que p y q son lógicamente equivalentes y denotamos p ≡ q si p y q tienen el mismo valor de verdad en cada caso, es decir si tienen la misma tabla de verdad.
También hay bibliografía donde se define un teorema sobre la equivalencia lógica en base a conceptos vistos anteriormente, como por ejemplo que si p ≡ q entonces la expresión que se obtiene al hacer p<->q es una tautología.
Como ejemplo, veremos una expresión que anteriormente dijimos que eran equivalentes, el caso de una implicación y su contrarrecíproca.
Como podemos ver estas expresiones tienen la misma tabla de verdad y si hacemos la doble implicación entre ellas obtenemos una tautología como lo indicaba el teorema.
Con frecuencia, es necesario transformar una expresión lógica en otra lógicamente equivalente, para ello podemos usar ciertas leyes de equivalencia (o también podemos encontrarlas como propiedades) que enunciaremos a continuación:
Leyes de idempotencia: Leyes conmutativas:
p^p ≡ p p^q ≡ q^p
pvp ≡ p pvq ≡ qvp
Leyes distributivas: Leyes asociativas:
p^(qvr) ≡ (p^q)v(p^r) p^( q^r)≡ (p^ q)^r
pv(q^r) ≡ (pvq)^(pvr) pv( qvr)≡ (pvq)vr Leyes de absorción: Ley de involución:
p^(pvq) ≡ p ¬ ¬p ≡ p
pv(p^q) ≡ p
Leyes de DeMorgan: Leyes de identidad:
¬ (p^q) ≡ ¬p v ¬q pvF ≡ p pvV ≡ V
¬ (pvq) ≡ ¬p ^ ¬q p^F ≡ F p^V ≡ p
Leyes de complementación:
pv¬p ≡ V
p^¬p ≡ F
*El complemento de F es V y el de V es F.
En la tabla de verdad podemos ver tal equivalencia lógica.
Finalizando este post y, a través de las leyes de equivalencia enunciadas, vemos cuál es la negación de la implicación:
p->q ≡ ¬p v q
¬(p->q) ≡ ¬(¬p v q)
¬(¬p v q) ≡ ¬¬p ^ ¬q (por DeMorgan)
¬¬p ^ ¬q ≡ p ^ ¬q (por involución)
Con lo que vemos que la negación de la implicación (¬(p->q)) es p^¬q.
Pelle.. Faltan más ejemplos
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